Ректор Российской академии музыки имени Гнесиных, лауреат Премии Правительства РФ, доктор искусствоведения, профессор.
После окончания Омского музыкального училища имени В. Я. Шебалина (класс Н. В. Статкевич) с 2000 по 2005 учился в РАМ им. Гнесиных на кафедре хорового дирижирования (класс доцента Е. Н. Байковой).
После окончания академии в 2005 году поступил в аспирантуру, которую окончил в 2008 году.
В ноябре 2008 года защитил кандидатскую диссертацию на тему «Хоровое творчество Арнольда Шёнберга» (научный руководитель – доктор искусствоведения, профессор Т. В. Цареградская).
В 2016 году защитил докторскую диссертацию на тему «Л. Ноно, Б. Мадерна, Л. Берио: пути развития итальянской хоровой музыки во второй половине XX века».
На кафедре хорового дирижирования РАМ им. Гнесиных преподает с 2009 года.
В 2010 году силами студентов кафедры А. С. Рыжинский организовал Ансамбль современной хоровой музыки «Altro coro» c целью пропаганды хоровых и вокально-ансамблевых сочинений XX и XXI веков. За недолгое время своего существования ансамбль успел наработать интересный концертный репертуар, в который вошли сочинения А. Шёнберга, С. Губайдулиной, А. Пярта, Л. Даллапиккола, Л. Берио, К. Штокхаузена, Х. Холлигера, Дж. Тавенера, Г. Свиридова, И. Мациевского, В. Кикты, А. Шнитке.
Большинство представленных сочинений исполнялись в России впервые.
Ансамбль является лауреатом Всероссийских и международных конкурсов.
Александр Рыжинский награжден Благодарностью Министра культуры Российской Федерации (2015 год).
В 2019 году назначен ректором РАМ имени Гнесиных.