Авангард Леонтьев родился 27 февраля 1947 года. Родители назвали сына именем его старшего брата, младшего лейтенанта, погибшего в возрасте 19 лет во время войны в 1943 году на Курской дуге. С детства мечтал о карьере актёра. Занимался в школьном драмкружке, затем в студии художественного слова при Московском городском Доме пионеров в переулке Стопани у Анны Бовшек — ученицы Константина Станиславского и Евгения Вахтангова.[2] В старших классах сам организовал театральную студию, в которой занимался с одноклассниками.
На курсе Павла Массальского в Школе-студии МХАТ поначалу считался в числе отстающих, так как не справлялся с творческой программой. Но на втором курсе «втянулся» и стал почти отличником. В 1968 году получил диплом[3] и был приглашён в труппу московского театра «Современник».
По приглашению Олега Табакова начал заниматься преподавательской деятельностью. Сначала в драматической студии для старшеклассников при Дворце пионеров и школьников Бауманского района Москвы (1974—1976 гг.), а затем в ГИТИСе и Школе-студии МХАТ (1976—1990 гг.) на руководимых Табаковым курсах. В дальнейшем эти курсы составили основу труппы Московского театра-студии п/р Олега Табакова. Руководитель трёх выпусков актёрского курса Школы-студии МХАТ с 1989 по 2001 г.
Среди учеников Авангарда Леонтьева: Елена Майорова, Игорь Нефёдов, Ирина Апексимова, Сергей Газаров, Марина Зудина, Евгений Миронов, Олеся Судзиловская, Денис Суханов, Владимир Машков.
С 2004 года — артист МХТ имени А. П. Чехова.
Автор-составитель изданной в 2009 году книги «Великое культурное противостояние: Книга об Анне Гавриловне Бовшек».[4]
25 сентября 2015 года актёр принял участие в театрализованных онлайн-чтениях произведений А. П. Чехова «Чехов жив».